§15


ポテンシャルエネルギーが距離rに反比例する場合が、
中心力の場で特に大切。
具体的には重力の場と、静電波がある。前者は引力で後者は引力と斥力がある。
まずは『引力』から考えていく。斥力も後で考えるのかな?

ポテンシャルがrに反比例する場合の有効ポテンシャルをグラフに表す。
この際、初等的な自分でポテンシャルの極小値もわかる。
(あとで使う)
これにより、E>0の場合には粒子の運動は有界でなく…

有界って何?】
ある定義域で定義された関数の値域を越える定数が存在すればその関数は有界ってことな。
納得。

で、前回求めた軌跡の式にポテンシャルがrに反比例する場合を代入すると、その時の軌跡が求まるわけ。
でそれは【円錐曲線の方程式(?)】らしい。

結果を言い直せば、
これにより、相互作用する2体問題で、その系のポテンシャルが距離に反比例している場合。
各々の粒子の軌道は2粒子共通の重心を焦点とする円錐曲線で表される。

さらに結果を吟味するとE<0の場合やっぱり運動は有界ってことがわかる。【軽く受け入れてるけどE<0ってどういうこと】→【今回とかポテンシャルがマイナスやんか、だから無限遠点ではないところで粒子が静止した状態がスタートならE<0だよね】
たって離心率e<1つまり軌道は楕円だからね。
有界じゃない運動ってどんなん?】→【ゴールなく飛んでくやつ】
で、解析幾何学によると(なんやねんそれ)楕円の長半軸と短半軸がわかるらしいよ。で長半軸は粒子のエネルギーには依存するけど角運動量には依存しないことをあとで利用するらしい。

少し話が変わるけど
エネルギーの許される最小値は最初の方で求めたポテンシャルの最小値と一緒になるのはわかるね?
で、その時の軌道はe=0つまり円になる。

ここで場の中心(楕円の焦点)までの最小および最大の距離がそれぞれ示される。この際さっき求めた長半軸とか短半軸、あと離心率とか使ったよ。(だから何?)

なんか楕円を一周する時間、周期、を決定するには角運動量保存則が便利らしい。しかも面積積分で表されたやつな。
で、軌道の面積がπabであることを利用して(やっとここで使えるのね!)なんやかんやで周期が求まる。
すると周期の2乗が軌道の大きさ(長半軸)の3乗に比例することがわかった。まあこれは力学的相似の下りで言ったんやけどな。じゃあ新しいことを知りたいってことで…

求めた周期をよく見ると、【周期が粒子のエネルギーだけ(他に変数が無い)によることがわかる】

まあさっきまではE<0つまり運動が有界な場合の時の話ばっかりしてたから、つぎはE≧0有界ではないときの話をしてみよう。(周期の下りはあるかな?)→(有界じゃないんやからあるわけないやろ)

で、E>0だと離心率e>1となり、奇跡が場の中心(商店)をまわる双曲線になる。
でここでも(なんの意味があるかわかんないけど)中心から近日点への距離を求めたりする。
【双曲線の近日点と半軸って同じちゃうん(解決済み)】

でE=0のときe=1すなわち粒子の軌道は放物線(馴染み深い‼︎)。
でまた近日点とかもとめる。(それが何になるっちゅうねん)
この軌道は粒子が無限遠店で静止した状態から始めた場合のやつ。
そっか最初の時点でE=0ならそれ以降は保存則でずっとE=0やわ。

また話は変わるけど時間による座標の変化は前求めた公式(?!)から得られるよ。
それをもっと便利な形にするよ。
なんやかんや(途中でなんかξとかつかっちゃう)あって
Eとかrとかが消えて(!!)新しいパラメータを持ったtが誕生するよ。
このパラメータを使ってrのtに対する依存性(r=ξの関数、t=ξの関数。この連立)を表せる。
(だからなんなん、って思ったけどξを[0.2π]で変化させてみたいなって思った、グラフ化ソフトを使おうか)
で、おまけなんやけど粒子のデカルト座標xyもξで表すことが出来る。(いつ使うねん!?)

これで『引力』の下りが終わった。
結局何が言いたかったのかという
引力が生じる場における粒子の軌跡と、時間の対応【これの必要性がわからない…】を同一のパラメータで表したのさ。
(やたら近日点とか求めてたけどそれが何になるん)

次は『斥力』の下り。
このとき【有効ポテンシャル】(なんやこれ)は
引力のときと違って単調に減少してくれる。
粒子のエネルギーは常に正だよね。
で、いかなるときも運動は有界ではない。(飛んだ暴れん坊)
このときの運動の軌跡は引力のときと同様の変換(あの式にっこんだり、置き換えたり)で双曲線ってのがわかる。
でまた近日点を求めて(また...)、r、t、x、yを同様のパラメータで表すことができる。【これはデータ圧縮にもなるから大きな利益になると思うんや】

ケプラー問題って結局なんやったん?