§14

 

2個の物体を1個の物体の運動に還元して、そいつの外場における運動を決定する。っていうノリ。
その場ではポテンシャルエネルギーは基準からの距離だけで決まるとする。
これを中心力の場と呼ぶらしい。
この場では粒子に働く力の大きさは、rに依存して、方向は位置ベクトルの向きに一致する。(これはわかる)

角運動量保存則を使う。
§9で示したように、【中心力の場の運動では場の中心についての系の角運動量は保存する(これもう一度説明お願いします)】
角運動量が保存するってことは、角運動量に垂直な面に粒子の位置ベクトルがずっと留まっているってことやん?
これより中心力の場において粒子の運動の軌跡は完全に1つの平面内にある!
するとラグランジアン極座標(r,φ)を使って表される。
このときのラグランジアンはφドットとかは陽に含むけど
φそのものは陽に含まないよね。
こういうφの特徴を循環的っていう。

循環的、について話を広げていくと
一般座標が循環的だとする。
あ、循環的じゃない、つまり陽に含んでると
ラグランジュ方程式がいい感じに解けないんだ。
φの偏微分が値を持っちゃう的な
するとラグランジュ方程式によりこの座標に対して
一般運動量が分かる、このときこれは運動の積分である。
なんかこれのおかげで、循環座標が存在するときの
運動方程式積分を簡単化するらしいよ。

今回もφについて一般運動量がもとまる。
でこれが、角運動量保存則にもどるらしい。

で、この角運動量保存則を
1個の粒子の中心力の場の中での平面運動に対して
幾何学的に解釈すると
面積速度が不変であることを導ける。
ちなみに角運動量保存則は面積の積分なんていわれたりする
(これしっくりこーへんのやけど)

バイザウェイ
中心力の場における粒子の運動に関する問題の解は
運動方程式を解かなくても
エネルギーと角運動量の保存則に基づいて導ける。
(ケプラー問題もここで導いたポテンシャルで軌道だしてるしね!)

角運動量保存則のおかげでφドットを角運動量で表せる。
でそれをエネルギー保存則に入れてなんやかんやすると
rドットの微分方程式が出てそれを解くとtの式がでて
なんやかんやすると
φの式がでる。
tの式とφの式が問題に対する一般的な解らしいよ。
φは軌道を決めて、tは陽にではないがrを時間の関数として決定している。
これらによると『φが時間と共に単調に変わって行く』らしい

エネルギー保存則にφドットを角運動量で表したやつを入れた
ときの
運動エネルギーではない部分を有効ポテンシャルっていうらしい。
それは【運動の動径部分?が有効ポテンシャルの場における1次元運動とみなせることをあらわしている?】

で、有効ポテンシャルのうち本来のポテンシャルを除いた部分の量を遠心力のポテンシャルエネルギーって言うらしい

ででで、有効ポテンシャル=Eのときを満たすrは運動の領域の限界を表してる。
このとき動径速度はゼロになるが粒子が停止しているわけではない、だってφドットは生きてるからさ。
で、【rドット=0は軌跡の転回点を表す】

変数rに上限が与えられていなかったら、粒子は無限遠から到来し無限遠へ去っていく、(なんで?)
いやまあ、ケプラー問題の下りでなんとなくわかったけどさー

逆に上限と下限があれば、rの下限の円と上限の円で囲まれた領域を軌跡は通る。
この中で軌跡は自由だから奇跡が閉じるとは限らない。
『このくだり出てくるΔφが意味わからんけど』
でこいつがうまいことなれば軌跡は閉じる。
まあ基本は閉じないけどな!
軌跡は環状のところを埋め尽くすよね。

でもまあ綺麗な軌跡が見たいわな
それは2パターンある。
ポテンシャルがrあるいはrの2乗に反比例するとき。

話が変わって転回点について
(ちょうど知りたかったんだよー)
転回点では当然rドットの正負が変わる。
つまり、rドットの中身が変わる。
その中身の正負が変わることは、
転回点への動径ベクトルから測ったφが
動径を軸に対称であることがわかる。
これにより上限に到達すると転回して対称なところで
また粒子が動いて
下限に達するとまた転回して…てきな?
これは有界じゃないときもオーケーよ。

その次の下りに関してはその意味がわからんわ